قضیه چهاررنگ
جمعه 18 شهریور 1390 ساعت 09:56 ب.ظ | نوشته ‌شده به دست Mr.pouria ..... | ( نظرات )

قَضیّهٔ چهاررَنگ یا حدس چهاررنگ از مسائل مشهور و قدیمی ریاضیات است که سال‌ها اثبات نشده مانده بود. به بیان ساده (و نادقیق) این قضیه می‌گوید:

برای رنگ کردن هر نقشه به طوری که کشورها و نواحی همسایه در نقشه هم‌رنگ نباشند فقط چهار رنگ کافی است.
این مسئله به صورت معادله ابتدا درسال۱۸۵۲ عنوان شد و سرانجام در سال ۱۹۷۶ با کمک رایانه توسط کی اپپل و و. هیکن حل شد. این کار در طول ۱۲۰۰ ساعت فعالیت سریعترین رایانه‌های زمان خود انجام شد که با دسته بندی بیش از چند میلیون گراف به این نتیجه رسیدند

مثالی از یک "نقشه" چهاررنگ

مرتبط با: ریاضیات ,


xyTune


eMech


رمز سزار
شنبه 9 بهمن 1389 ساعت 05:12 ب.ظ | نوشته ‌شده به دست Mr.pouria ..... | ( نظرات )

در رمز نگاری، رمز سزار یکی از ساده ترین و شناخته ترین تکنیکهای رمز نگاری است که با عناوین رمز جابجایی، کد سزار یا جابحایی سزار شناخته می شود. این رمز یک نوع رمز جانشینی است که هر حرف در متن اصلی با حرف دیگری با فاصله ثابت جابجا می شود. برای مثال با مقدار انتقال 3، A با D، Dبا E و به همین ترتیب جانشین می شوند. نام آن از ژولیوس سزار گرفته شده است. او از این روش برای ارتباط با فرماندهان خود استفاده می کرد. مرحله رمز نگاری از رمز سزار که از روش های پیچیده تر شکل گرفته، انجام می شود. مانند رمز Vigenere. این رمز استفاده های پیشرفته در سیستم های ROT13 دارد. مانند همه رمز های با روش جانشینی حروف، رمز سزار نیز به راحتی شکسته می شود و به طور اساسی هیچ امنیت ارتباطی را پیشنهاد نمی کند.


مثال

انتقال بوسیله در یک ردیف قرار دادن دو حرف الفبا نمایش داده می شود.الفبای رمز، چرخش به راست یا چپ با مقدار انتقال ثابت است. برای مثال در اینجا رمز سزار از چرخش به چپ با مقدار انتقال 3 استفاده شده است.(کلید رمز مقدار جابجایی است که در این مثال 3 در نظر گرفته شده است.)

Plain:    ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ
Cipher: DEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZABC

برای رمز گشایی شخص به ازای هر حرف در متن رمز حرف مرتبط با آن را می نویسد.

Ciphertext: WKH TXLFN EURZQ IRA MXPSV RYHU WKH ODCB GRJ
Plaintext: the quick brown fox jumps over the lazy dog

همچنین رمز نگاری می تواند در قالب تابع ریاضی انجام شود. در ابتدا هر حرف را به یک عدد نظیر می کنند. یعنی A=0، B=1،...Z=25. رمز شده x با انتقال n در قالب ریاضی به صورت زیر است.

E_n(x) = (x + n) \mod {26}.

رمز گشایی نیز بطور مشابه به صورت زیر انجام می شود.

D_n(x) = (x - n) \mod {26}.

(تعاریف برای عملگر پیمانه وجود دارد. در بالا نتیجه، عددی بین 0 تا 25 است. اگر x-n یا x+nدر این بازه نباشند باید با 26 جمع یا تفریق کنیم.)

ادامه مطلب
مرتبط با: ریاضیات ,


xyTune


eMech


قضیه استوکس
یکشنبه 23 اسفند 1388 ساعت 07:34 ب.ظ | نوشته ‌شده به دست Mr.pouria ..... | ( نظرات )

در هندسه دیفرانسیل، قضیه استوکس گزاره‌ای است درباره انتگرال فرم‌های دیفرانسیلی که حالت عمومی چند قضیه دیگر می‌باشد. این قضیه به نام جرج گابریل استوکس نام‌گزاری شده.

تعریف

هرگاه ψ یک زنجیر k بعدی از رده \varphi'' در مجموعه V \subset R^m و ω یک فرم (k-1) بعدی از رده \varphi' در V باشد، آنگاه :

\int_\psi d\omega=\oint_{\partial \psi} 
\omega

حالت‌های خاص

  • حالت k = m = ۱ قضیه اساسی حساب دیفرانسیل و انتگرال با فرض اضافی مشتقپذیری است.
  • حالت k = m = ۲ قضیه گرین است
  • حالت k = m = ۳ قضیه دیورژانس گاوس است
  • حالت k = ۲، m = ۳ قضیه‌ای است که توسط جرج گابریل استوکس کشف شد.

مرتبط با: ریاضیات ,


xyTune


eMech


تسركت
پنجشنبه 20 اسفند 1388 ساعت 04:18 ب.ظ | نوشته ‌شده به دست Mr.pouria ..... | ( نظرات )

در هندسه، به همتای چهاربعدی یک مکعب (سه‌بُعدی) تِسِرَکت می‌گویند.

حرکت در راستای بعد چهارم یک تسرکت، نماینده تغییر شکل کرانمند مکعب در جریان زمان است.


پرسپکتیو سه‌بعدی از یک فوق مکعب تسرکت

طریقه ترسیم یک تسرکت

  • پله اول : ترسیم یک مربع به روی دستگاه مختصات دکارتی
  • پله دوم : ترسیم نسخه عینی از همان مربع در پائین مربع قبلی (در جهت محور z)
  • پله سوم : تشکیل یک مکعب با کشیدن ٤ خط اریب
  • پله چهارم : ترسیم خطوط مورب از هر ٨ گوشهٔ مكعب قبلی در جهت محور w. انتهای هیچ یک از این خطوط نباید در گوشه‌های قبلی قرار گیرد.
  • پله پنجم : اضافه کردن ٤ خط افقی, ٤ خط عمودی و ٤ خط "z"

Drawingtess.jpg

تصاویری از تسرکت


باز کردن یک تسرکت

یك ساختار سه بعدى متشكل از ۸ مكعب در حال چرخش می‌باشد.

Hypercubestar.svg

Hypercubecubes.svg


مرتبط با: ریاضیات ,

برچسب‌ها: تسركت ,

xyTune


eMech


مثلث پنروز
پنجشنبه 20 اسفند 1388 ساعت 04:14 ب.ظ | نوشته ‌شده به دست Mr.pouria ..... | ( نظرات )

مثلث پنروز یکی از معروف ترین اشیای غیرممکن است که هم نام ریاضی‌دانی به اسم راجر پنروز نامگذاری شده. اولین بار این شکل توسط هنرمندی به نام اسکار رویترزوارد در سال ۱۹۳۴ به تصویر در آمد. از این نوع اشیا بعدها در آثار موریس اشر بسیار به کار رفت و ما امروزه بیشتر اشیای اینچنین را با نام او می‌شناسیم.

این شی یکی از اشیای مورد توجه ریاضی‌دانان در موضوعات مربوط به توپولوژی است. فرم کلی آن به صورتی ست می‌توان آن را به n-ضلعی‌های دیگر تعمیم داد.


   

مثلث پنروز یکی از اشیای غیرممکن است‎

مرتبط با: ریاضیات ,


xyTune


eMech


معدلات اولر
سه شنبه 11 اسفند 1388 ساعت 08:15 ب.ظ | نوشته ‌شده به دست Mr.pouria ..... | ( نظرات )

در دینامیک سیالات، معادلات اولر (Euler equations) مدل ریاضی حاکم بر حرکات، جریانات، و دینامیک سیالاتتراکم‌پذیر و غیر لزج را نمایش می‌دهند.

معادلات اولر به فرم بقاء مؤلفات

نمایش به صورت معادلات دیفرانسیل:

\begin{align}
&{\partial\rho\over\partial t}+
\nabla\cdot(\rho\bold u)=0\\[1.2ex]
&{\partial\rho{\bold u}\over\partial t}+
\nabla\cdot(\bold u\otimes(\rho \bold \bold u))+\nabla p=0\\[1.2ex]
&{\partial E\over\partial t}+
\nabla\cdot(\bold u(E+p))=0,
\end{align}

که در اینجا:

  • ρ عبارت است از چگالی جرم سیال,
  • u بردار سرعت سیال است و مؤلفه‌های v، u، و w را داراست.
  • E = ρ e + ½ ρ ( u2 + v2 + w2 انرژی کل در حجم واحد است، e انرژی داخلی در جرم واحد، و p فشار سیال را نمایش می‌دهد.

شایان توجه است که معادلهٔ وسط در دستگاه معادلات اولر برداری است و در حکم سه معادله برای سه مؤلفهٔ سرعت سیال کار می‌کند.

معادلهٔ وسط شامل واگرایی یک ضرب دو تایی است، و ممکن است نمایش آن به صورت اندیس‌دار (برای هر j از ۱ تا ۳) آشکارائی و وضوح بیشتری را دارا باشد.

{\partial(\rho u_j)\over\partial t}+
\sum_{i=1}^3
{\partial(\rho u_i u_j)\over\partial x_i}+
{\partial p\over\partial x_j}
=0

در این حال اندیس‌های i و j سه مؤلفه دکارتی را شامل هستند: ( x1 , x2 , x3 ) = ( x , y , z ) و ( u1 , u2 , u3 ) = ( u , v , w )

معادلات فوق به صورت معادلات بقاء نمایش داده شده‌اند چرا که این قالب تأکید زیادتری بر روی مبادی فیزیکی دستگاه معادلات داشته و در اغلب موارد مناسب‌ترین فرم را جهت شبیه‌سازی‌های دینامیک محاسباتی سیالات عرضه می‌دارد.

معادله بقاء ممنتوم را به این صورت هم می‌توان نشان داد که فرم غیر بقاء آن است:

\rho\left(
\frac{\partial}{\partial t}+{\bold u}\cdot\nabla
\right){\bold u}+\nabla p=0


مرتبط با: ریاضیات ,

برچسب‌ها: معدلات اولر , اولر ,

xyTune


eMech


قاعده کرامر
سه شنبه 11 اسفند 1388 ساعت 08:13 ب.ظ | نوشته ‌شده به دست Mr.pouria ..... | ( نظرات )

قاعده کرامر نام روشی در ریاضی است که از آن در حلّ دستگاه معادلات خطی (دستگاه‌ چند معادله چند مجهول و در حالت ساده‌تر برای حلّ دستگاه‌ دو معادله دو مجهول) استفاده می‌شود.


تعریف ریاضی

روش کرامر در حل دستگاه دو معادله دو مجهول

برای دستگاه دو معادله دو مجهول زیر:

\begin{cases} 
 ax + by = c \\
dx + ey = f
\end{cases}

جواب به صورت زیر نوشته می‌شود:

y = \frac{af - dc}{ae - db}

[ویرایش] روش کرامر در حل دستگاه سه معادله سه مجهول

جواب z برای دستگاه زیر:

\begin{cases} 
 ax + by + cz = m \\
dx + ey + fz = n \\
gx + hy + kz = p
\end{cases}

عبارت است از:

z = \frac{aep - ahn + dhm - dbp + gbn - gem}{aek - ahf + dhc - dbk + gbf - gec}


مرتبط با: ریاضیات ,


xyTune


eMech


معادله نرنست
سه شنبه 11 اسفند 1388 ساعت 08:12 ب.ظ | نوشته ‌شده به دست Mr.pouria ..... | ( نظرات )

در الکتروشیمی معادله نرنست معادله‌ای است که به کمک آن می‌توان دترمینان کاهش پتانسیل در حالت تعادل و در سلول الکتروشیمیایی بدست آورد و می‌توان از روی ولتاژ (نیروی محرکه برقی) نیز همین کار را انجام داد. این نام به افتخار سازنده این فرمول به نام والتر نرنست است. دو فرمول نهایی (نیم‌پیل، پیل) :

E_{red} = E^0_{red} - \frac{RT}{zF} \ln\frac{a_{\mbox{Red}}}{a_{\mbox{Ox}}}    (پتانسیل تقلیل نیم-سلول)
E_{cell} = E^0_{cell} - \frac{RT}{zF} \ln Q    (پتانسیل سلول کامل)

که

  • Ered پتانسیل احیا نیم پیل
  • E^0_{red} استاندارد نیم پیل پتانسیل کاهشی
  • Ecell پتانسیل باطری (نیروی محرکه الکتریکی)
  • E^0_{cell} پتانسیل استاندارد
  • R ثابت عمومی گازها (۸٫۳۱۴۴۷۲ J K mol)
  • T دمای مطلق. (TK = ۲۷۳٫۱۵ + T°C.)
  • a میزان فعالیت شیمیایی. aX = γX[X] که γX ضریب فعالیت نوع X است. (درحالی که ضرایب فعالیت با تمرکز پایین به یک میل می‌کنند، فعالیت‌ها در معادله نرنست متناوباً با تمرکز ساده جایگزین می‌شوند)
  • F ثابت فارادی (اندازه بار هر مول الکترون، برابر با ۹٫۶۴۸۵۳۰۹×۱۰۴ C mol)
  • z تعداد الکترون‌هایی است که در جریان برقکافت واکنش می‌دهند
  • Q خارج قسمت واکنش است.

در دمای اتاق(۲۵ °C), RT/F برای پایانه‌ها ثابت ۲۵٫۶۷۹ mV می‌توان جایگزین نمود.

در معادله نرنست از لگاریتم در مبنای ۱۰ بیشتر اسفاده شده‌است تا لگاریتم طبیعی، در بعضی مواقع نوشته می‌شود، برای پایانه در دمای ۲۵ °C:

E = E^0 - \frac{59.1\mbox{ mV}}{z} \log_{10}\frac{a_{\mbox{Red}}}{a_{\mbox{Ox}}}.

معادله نرنست در فیزیولوژی برای پیدا کردن پتانسیل الکتریکی غشاء سلولی برحسب به یک نوع یون استفاده می‌شود


مرتبط با: ریاضیات ,


xyTune


eMech


قضیه گرین
دوشنبه 10 اسفند 1388 ساعت 07:25 ب.ظ | نوشته ‌شده به دست Mr.pouria ..... | ( نظرات )
قضیه گرین یا نظریه سبز، یکی از قضایای پر کاربرد در علم حساب دیفرانسیل و انتگرال است که انتگرال خطی منحنی بسته را به انتگرال دو گانه تبدیل می‌کند . نام این نظریه از نام جرج گرین گرفته شده است.

فرض کنیم که C منحنی ساده و بسته در صفحه XY بوده و D ناحیه محدود و کراندار بین منحنی C باشد.اگر L و M توابعی از دو متغیر x و y بوده و در میدان D پیوسته و دارای مشتق جزئی مرتبه اول باشند ، داریم:


\oint_{C} (L\, dx + M\, dy) = \iint_{D} \left(\frac{\partial M}{\partial x} - \frac{\partial L}{\partial y}\right)\, dA.




C1, C2, C3, C4 مسیر تابع برداری C مفروض است که بعد از یک حرکت پاد ساعتگرد به مکان اولیه خود باز می‌گردد.


مرتبط با: ریاضیات ,


xyTune


eMech


انتگرال خطی
دوشنبه 10 اسفند 1388 ساعت 07:22 ب.ظ | نوشته ‌شده به دست Mr.pouria ..... | ( نظرات )

در ریاضیات انتگرال خطی (چیزی که انتگرال مسیر نیز نامیده می‌شود) انتگرالی است که یک تابع در طول یک منحنی انتگرال‌گیری می‌شود. خط‌ها و مسیرهای متفاوتی بکار می‌رود. اگر خط (منحنی) بسته باشد آن را انتگرال مسیری گویند.

تابعی که باید از آن انتگرال گرفته شود، ممکن است در یک میدان اسکالر یا یک میدان برداری باشد. مقدار انتگرال خطی برابر جمع مقادیر میدان روی تمام نقاط منحنی است و به وسیلهٔ مقدار توابع اسکالر روی منحنی محاسبه می‌شود (معمولاً طول کمان برای میدان‌های برداری، حاصل‌ضرب بردارهای متفاوت درون میدان است). مقدار دیفرانسیل‌گیری در انتگرال خطی ساده‌تر از انتگرال تعریف شده روی فاصله است. فرمول‌های ساده‌ای در فیزیک برای مثال W=\vec F\cdot\vec d) که در شرایط انتگرال خطی دارای پیوستگی طبیعی‌اند (برای مثالW=\int_C \vec F\cdot d\vec s) ). این انتگرال کاری را که روی حرکت شی در میدان گرانشی انجام می‌دهد، بدست می‌آورد.


تعریف

برای بعضی از میدان‌های اسکالر f : R'n \to R انتگرال خطی روی منحنی C با پارامتریزه شدن r(t) که:\int_C f\, ds = \int_a^b f(\mathbf{r}(t)) |\mathbf{r}'(t)|\, dt.

معنی می‌شود که f:میدان اسکالر انتگرال‌پذیر

C: ناحیه‌ای که انتگرال رویش گرفته می‌شود

r(t): [a, b] \to C :که پارامتریزه شده روی C اند و (r(bو (r(a مقدار روی C اند. ds روش راه‌گشای ارائه شده است به طوری که برابر طول کمان مقدماتی است. زیرا آنها تنهاوابسته به محیط کمان‌اند، انتگرال خط میدان‌های اسکالر، وابسته به پارامتریزه شدن(r(t اند. برای یک میدان برداری F : Rn \to Rn، انتگرال خطی روی منحنی C، با پرامتریزه کردن (r(t که تعریف می‌شود.

\int_C \mathbf{F}(\mathbf{r})\cdot\,d\mathbf{r} = \int_a^b \mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot\mathbf{r}'(t)\,dt.

انتگرال خطی میدان‌ها برداری به پارامتریزه شدن (r(t وابسته‌اند و مقدار اصلی آنها وابسته به جهت آنهاست. به ویژه اگر جهت انتگرال عوض شود، مقدار متمایزی به ما می‌دهد.

راه استقلال

اگر یک میدان برداری F باشد که برابر گرادیان میدان اسکالر G باشد.

\nabla G = \mathbf{F},

پس یک مشتق از ترکیب G و (r(t هست که

\frac{dG(\mathbf{r}(t))}{dt} = \nabla G(\mathbf{r}(t)) \cdot \mathbf{r}'(t) = \mathbf{F}(\mathbf{r}(t)) \cdot \mathbf{r}'(t)

که مقداری برای انتگرال خطی از میدان F روی (r(t است. با دنباله‌روی از این روش، یک مسیر روی C به ما می‌دهد که\int_C \mathbf{F}(\mathbf{r})\cdot\,d\mathbf{r} = \int_a^b \mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot\mathbf{r}'(t)\,dt = \int_a^b \frac{dG(\mathbf{r}(t))}{dt}\,dt = G(\mathbf{r}(b)) - G(\mathbf{r}(a)).


در لغت، انتگرال F روی C فقط وابسته به مقادیر نقاط (r(a و (r(b است. بدین گونه مستقل از راه‌ها و جهت‌های متفاوت است. بنابراین یک میدان برداری که از گرادیان یک میدان اسکالر بدست آمده است، راه استقلال می‌نامند.


کاربردها

انتگرال خطی کاربرد زیادی در فیزیک دارد، برای مثال کار روی حرکت ذرات در میدان نیرو توسط (روی) منحنی C نمایش داده می‌شود به طوری که جهت میدان F برابر انتگرال F روی C است.

رابطهی انتگرال خطی با آنالیز اعداد مختلط

چشم‌انداز اعداد مختلط به طور دو بعدی، انتگرال خطی در میدان برداری مرتبط است با قسمت حقیقی از انتگرال خطی با درهم آمیختن یک تابع مختلط با یک متغیر مختلط. بنابر معادله کشی ریمان، حلقهی میدان برداری مطابق است با درهم آمیختن تابع هولومورفیک که برابر صفر است. این رابطه و تئوری (قضیه استوکس)، هر دو نمونه‌ای از انتگرال خطی‌اند که به صفر می‌رسند.

آنالیز مختلط

انتگرال خطی یک روش بنیادی در آنالیز مختلط است. فرض U یک زیرمجموعه بازی است در C، γ : [a, b] \to U یک مسیر است و f : U \to C یک تابع باشد که انتگرال خطی :\int_\gamma f(z)\,dz. بازه [a,b] را به صورت زیر افراز می‌کنیم.

a = t0 < t1 < ... < tn = b

که با توجه به بالا می‌شود

\sum_{1 \le k \le n} f(\gamma(t_k)) ( \gamma(t_k) - \gamma(t_{k-1}) ).

انتگرال بالا برابر حد مجموع بالاست که طول زیرمجموعه‌ها به سمت صفر میل می‌کند. اگر یک منحنی متغیر باشد، انتگرال خطی می‌تواند محاسبه کند، به طوری که انتگرال تابع با مقادیر حقیقی باشد.

\int_\gamma f(z)\,dz
=\int_a^b f(\gamma(t))\,\gamma\,'(t)\,dt.

وقتیγ یک منحنی بسته باشد مقدار اولیه و مقدار آخری با هم روی می‌دهد که آنرا با

\oint_\gamma f(z)\,dz

نشان می‌دهند که معمولاً برای انتگرال خطی f رویγ بسته نمایش داده می‌شود. بهترین حکم در مورد انتگرال خطی (جهتی)، قضیهی انتگرال کشی و فرمول انتگرال کشی است. زیرا با استفاده از قضیه مانده می‌توان روش انتگرال خطی (جهتی) در صفحه مختلط برای پیدا کردن انتگرال و مقدار حقیقی تابع از یک متغیر حقیقی پیدا کرد.


مثال

با توجه به تابع f(z)=1/z و منحنی C حول صفر با شعاع 1 که با eit, پارامتریزه می‌شود که t in [0,2π]. داریم:

\oint_C f(z)\,dz = \int_0^{2\pi} {1\over e^{it}} ie^{it}\,dt = i\int_0^{2\pi} e^{-it}e^{it}\,dt
=i\int_0^{2\pi}\,dt = i(2\pi-0)=2\pi i

که می‌توان این مثال را از طریق انتگرال کشی بازبینی نمود.


مکانیک کوانتومی

راه انتگرال‌گیری در مکانیک کوانتومی، در واقع ارجاع داده می‌شود به روش انتگرال‌گیری از این طریق، اما توابع انتگرالی که انتگرال آنها در فضاست نه میدان دوبعدی، اگرچه (اما) روش انتگرال‌گیری از این طریق دارای اهمیت بسیار زیادی در ریاضیات مکانیک کوانتومی دارد. برای مثال، انتگرال خطی مختلط اغلب در ارزیابی احتمال انباشتگی در قضیهی پراکندگی کوانتوم کاربرد دارد.


مرتبط با: ریاضیات ,


xyTune


eMech




 
موضوعات
نویسندگان
دیگر موارد
تعداد مطالب :
تعداد نویسندگان :
آخرین بروز رسانی :
بازدید امروز :
بازدید دیروز :
بازدید این ماه :
بازدید ماه قبل :
بازدید کل :
آخرین بازدید :

شبکه اجتماعی فارسی کلوب | Buy Website Traffic | Buy Targeted Website Traffic